Dwusieczna kąta

Dwusieczna kąta i sposób mówienia o niej ma sporo wspólnego z symetralną. Można spróbować opowiedzieć o nich w niedużym odstępie czasu, żeby te podobieństwa zauważyć.

Czym jest dwusieczna kąta? Są trzy sposoby na to, by o niej opowiedzieć. Opowiem o wszystkich trzech razem z ćwiczeniami, które można zaproponować dziecku. Moje opowieści będą dotyczyć kątów wypukłych, można je uogólnić też na kąty wklęsłe, ale uważam, że na etapie szkolnym nie jest to potrzebne (pierwsza definicja jest ogólna, możecie o tym powiedzieć dziecku).

Dwusieczna to taka półprosta, która dzieli kąt na dwa przystające (“takie same”) kąty. Jak ją sobie wyobrazić, jak ją znaleźć?  Najlepiej wyciąć duży kąt (nie chodzi o dużą miarę kąta, ale o rozmiar wycinanego kawałka, bo pamiętacie, że kąt to figura nieskończona). Ten “brzeg, którego nie ma”, za którym nadal rozciąga się geometryczny kąt, wyraźnie zaznaczcie – można go urwać zamiast wyciąć albo narysować strzałki sugerujące, że kąt “ciągnie się” dalej. Teraz zaproście dziecko, by spróbowało rozciąć kąt na dwa jednakowe, a gdy mu się uda (warto nałożyć uzyskane kąty i zobaczyć czy są “takie same”), opowiedzcie, że taką półprostą która dzieli kąt na dwa jednakowe nazywamy dwusieczną tego kąta. Dla wielu dzieci znalezienie dwusiecznej jest intuicyjne. Gdyby jednak sprawiało trudność, po prostu razem próbujcie i zastanawiajcie się, czy jest dobrze. Za pomocą prostego cięcia możemy dzielić kąt na wiele różnych sposobów:

  • możemy przeciąć go “od jednego ramienia do drugiego”, ale wtedy otrzymamy trójkąt i drugą figurę, która jest nieskończona,
  • możemy przeciąć go zaczynając od ramienia, i prowadząc nożyczki w stronę, gdzie “kąt się nie kończy”. Wówczas otrzymamy dwie nieskończone figury, ale jedna z nich nie będzie wcale kątem,
  • możemy przeciąć go, zaczynając od wierzchołka – wówczas w zależności od kierunku uzyskamy dwusieczną lub inną półprostą. Na pewno domyślicie się, co zrobić, żeby otrzymane kąty były jednakowe 🙂

Na dwusieczną możemy spojrzeć też w inny sposób. Poszukajmy wszystkich punktów wewnątrz kąta, które są w tej samej odległości od obu jego ramion. Możemy to zrobić po prostu zaznaczając różne punkty i mierząc ich odległości od ramion (tutaj warto przypomnieć najpierw, jak mierzymy odległość punktu od prostej). Działać możemy na kartce, ale też np. na patykach geometrycznych, układając kąt z listewek i punkt za pomocą pinezki.

Jeśli obie odległości będą jednakowe – zaznaczmy sobie ten punkt, na przykład wybranym kolorem. Jeśli nie – szukajmy dalej (warto się zastanowić: skoro jedna z odległości była większa, to w którą stronę warto się przesunąć, żeby znaleźć właściwy punkt?). Gdy znajdziemy kilka takich punktów, zauważymy, że układają się na linii prostej, a dokładniej tworzą półprostą. To właśnie dwusieczna!

Jest też jeszcze jedno spojrzenie na dwusieczną. Warto zwrócić uwagę, że prosta, która ją zawiera, jest osią symetrii naszego kąta (jedyną, jeśli mówimy o kącie mniejszym od półpełnego).

Pierwsza definicja najlepiej opisuje czemu “dwusieczna” nazywa się właśnie tak (bo “sieka” kąt na dwa jednakowe). Drugie spojrzenie przyda się przy poszukiwaniu środka okręgu wpisanego w wielokąt. A trzecie? Wrócimy do niego między innymi przy konstrukcjach czy badaniu własności niektórych figur.